УДК 514.76

© К. В. Полякова

Генераторы плоской и симметрической плоской
аффинных связностей

Продолжается исследование аффинной связности [2]. Показано, что если объект аффинной связности получается в результате вычисления пфаффовых производных специального невырожденного тензора , то кривизна этой связности равна нулю, т.е. пфаффовы производные тензора  позволяют задать объект плоской связности. Показано, что если объект аффинной связности строится исходя из повторных пфаффовых производных специального вектора , то кривизна и кручение этой связности равны нулю, т.е. пфаффовы производные объекта  позволяют задать невырожденный тензор , пфаффовы производные которого порождают объект симметрической плоской связности. 
Ключевые слова: аффинная связность, плоская связность, симметрическая связность, пфаффовы (неголономные) производные.

© K. V. Polyakova

Generators of flat and symmetric flat affine connection

It is shown, that if affine connections object is obtained by means of calculation of Pfaffian derivatives of special nondegenerate tensor , then curvature of the connection vanishes, that is Pfaffian derivatives of  generate the object of flat connections. It is shown, that if affine connection object is obtained by calculation repeated Pfaffian derivatives of special vector , then curvature and torsion of the connection vanishes, i.e. Pfaffian derivatives of  give nondegenerate tensor  with Pfaffian derivatives giving the object of symmetric and flat connection. 
Keywords: affine connection, flat connection, symmetric connection, Pfaffian (non-holonomic) derivatives.

1.	Разложение аффинной связности
Аффинная связность в расслоении  касательных линейных реперов задается с помощью форм , причем компоненты объекта аффинной связности удовлетворяют уравнениям
,			(1)
где тензорный дифференциальный оператор  действует по закону
.
Пфаффовы производные  назовем первым продолжением аффинной связности , их уравнения имеют вид
.	(2)
Утверждение 1 [2]. Для аффинной связности справедливо разложение , где  — тензор деформации от простейшей связности  к произвольной связности , т.е. . 
Координаты  являются базисными на многообразии , а  - слоевыми [1]. Поскольку объекты кручения  и кривизны  выражаются по формулам , , то из разложения  с учетом симметрии слоевых координат  получим, что кручение и кривизна выражаются по формулам
,   ,		(3)
т.е. зависят только от координат . Таким образом, симметричная связность характеризуется симметричным тензором деформации , а плоская связность характеризуется тензором деформации, удовлетворяющим соотношениям
.				 (4)

2.	Генератор плоской связности
Рассмотрим специальный невырожденный тензор  , заданный уравнениями
.		(5)
Фактически это m векторов  со специальными полями. Дифференцируя уравнения (5), получим , где
   ().
Переходя в уравнениях (5) к натуральному кобазису, получим следующие выражения для частных производных объекта :
,     .		(6)
Из формулы (61) можно выразить компоненты тензора деформации
,				(7)
которые удовлетворяют условию (4). Таким образом, объект связности  имеет вид 
,			(8)
а кручение выражается по формуле
.			 (9)
Замечание. Если , то .
Утверждение 2. Невырожденный тензор , удовлетворяющий уравнениям (4), порождает тензор деформации  плоской связности.
Действительно, подставляя выражение (7) в уравнения (3) для кривизны через тензор деформации, получим нуль.
Если уравнения (5) записать в виде 
,			(10)
то, дифференцируя (10), получим
,				(11)
где
,			(12)
причем . Уравнения (11) совпадают с (1), а уравнения на пфаффовы производные  аналогичны (2). Отождествляя  и , а также  и , получим . Из уравнений (10) видно, что пфаффовы (неголономные) производные  невырожденного тензора  позволяют задать объект  плоской связности. Другими словами, если объект связности строится в результате вычисления пфаффовых производных невырожденного тензора , то кривизна этой связности равна нулю. Это самый общий объект плоской связности. 
Утверждение 3. Невырожденный тензор , удовлетворяющий уравнениям (10), порождает объект  плоской связности.
Генератором плоской связности  назовем невырожденный тензор , удовлетворяющий уравнениям (10): .
Рассмотрим теперь случай генератора для связности на многообразии. Возьмем невырожденный тензор   со следующим законом преобразования при переходе к новым координатам :
,     .			(13)
Аналогично будем называть совокупность  невырожденным тензором, хотя фактически это m тензоров , в совокупности образующих невырожденный объект. Дифференцируя второе выражение (13) по слоевым координатам , получим , что совпадает с (62). Из соотношений (13) выразим .
Рассмотрим объект , тогда, преобразуя , получим закон аналогичный закону для компонент связности 
.
Действительно,

Функции  имеют вид . 

3.	Генератор симметрической плоской связности
Рассмотрим специальный вектор , удовлетворяющий уравнениям
.	(14)
Фактически это совокупность m абсолютных инвариантов со специальными полями. Если , то . Переходя к натуральному кореперу в уравнениях (14), получим
.	(15)
Продолжая уравнения (14), получим
,	.		(16)
Переходя к натуральному кореперу, получим
,    .		(17)
С учетом пфаффовых производных (15) выражение (171) принимает вид
.		(18)
Из уравнений (16), используя , получим 
,			(19)
где , т.е. . Последнее выражение с учетом (18) принимает вид
.
Уравнения (19) аналогичны уравнениям (10). Объект  является симметрической связностью, а кроме того и плоской в силу утверждения 3. Это самый общий объект симметрической плоской связности. 
Замечание. Если , , то .
Из (14) видно, что пфаффовы производные  объекта  позволяют задать невырожденный тензор , а, следовательно, обратный ему тензор , пфаффовы производные  которого позволяют задать объект  симметрической плоской связности.
Утверждение 4. Если объект аффинной связности строится в результате двукратного вычисления пфаффовых производных объекта , то кривизна и кручение этой связности равны нулю. 
Генератором симметрической плоской связности  назовем объект c уравнениями (14):
.
Замечание. Базисные  и слоевые координаты  являются генераторами простейшей связности .  

Литература
1.	Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. семин. – Москва : ВИНИТИ, 1966. – Т. 1. – С. 139-189.
2.	Полякова К. В. Специальные аффинные связности 1-го и 2-го порядков // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград: 2015. – Вып. 46. – С. 14—128.

Полякова Катерина Валентиновна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры фундаментальной математики, Балтийский федеральный университет им. И. Канта, 236016, г. Калининград, ул. А.Невского, 14, e-mail: polyakova_@mail.ru.